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Les applications en finance

 

Les applications en finance sont, pour ce cours, un peu un pr´etexte `a l’introduction des bases du calcul stochastique. De fait, ainsi que l’indique le plan, elles n’occuperont gu`ere
plus que le quart du cours. Les applications en finance en pdf
Ceci ´etant, la motivation est la suivante : on suppose que les march´es financiers offrent des actifs dont les prix d´ependent du temps et du hasard ; on peut donc les
mod´eliser par des processus stochastiques, prix connus en temps continu. On supposeegalement que l’espace des ´etats possibles de la nature,
, est infini, que l’on obtient  Les applications en finance en pdf
continuement l’information sur les march´es et que les ´echanges peuvent s’op´erer `a tout instant (“continuous trading”). On est ainsi dans une situation o`u le mod`ele ad hoc est index´e par le temps t, t 2 [0, T] ou R+, et l’on est amen´e `a introduire un certain nombre d’outils stochastiques, qui peuvent d’ailleurs mod´eliser des situations extr`emement diverses, autre qu’en finance. Le processus de Wiener ou mouvement brownien est tel que ses petits accroissements Les applications en finance en pdf mod´elisent bien le “bruit”, l’alea pur, l’erreur de mesure physique... Le chapitre 2 sert `a
d´emontrer l’existence d’un tel processus en le construisant explicitement et l’on d´emontre quelques unes de ses propri´et´es les plus utiles. ii) Le calcul de Itˆo (chapitre 3) permet d’obtenir par int´egration des processus stochastiques
plus sophistiqu´es ; la formule de Itˆo (chapitre 4) permet de “diff´erentier” une fonction d’un processus stochastique ; et enfin, on peut introduire des ´equations diff´erentielles
stochastiques (chapitre 5). iii) Le chapitre 6 aborde les changements de probabilit´e et probl`emes de martingales.
En effet, on se place en th´eorie financi`ere en g´en´eral sous l’hypoth`ese (ou l’on cherche `a v´erifier cette hypoth`ese !) qu’il existe un espace de probabilit´e o`u les prix sont tous des
martingales, ce qui facilite souvent beaucoup les choses au point de vue math´ematique, quant au point de vue financier, cette hypoth`ese permet d’´eviter ce que l’on appelle “opportunit Les applications en finance en pdf ´e d’arbitrage” (soit gagner de l’argent sur le march´e financier sans mise initiale).
Donc, on introduit Les applications en finance en pdf
- le th´eor`eme de Girsanov pour savoir changer de probabilit´e, - les probl`emes de martingale Les applications en finance en pdf
qui consistent `a trouver une probabilit´e sous laquelle tous les prix sont de smartingales, Historiquement, il s’agit du mouvement irr´egulier de particules de pollen en suspension
dans l’eau, observ´ees par Robert BROWN en 1828. Il en r´esulte une dispersion des micro-particules dans l’eau, on dit aussi une “diffusion” du pollen dans l’eau. De fait, ce mouvement sert actuellement `a beaucoup d’autres mod´elisations de ph´enom`enes dynamiques :

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